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丘成桐談空間的內在形狀

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推薦序
推薦序1

心腦交會的時空行者

　　我真希望在三十年前，當我全力發展人類大腦如何處理時間訊息的理論模式時，就讀到《丘成桐談空間的內在形狀》這一本章章使我感動、時時讓我頓悟和會心的「數學」啟示錄。我會這麼說，是我們這些在早期聯考制度下的乙組（當年的人文、社會科系）生，進了大學後就和數學絕緣了。每每聽到別的科學家談物理和數學如何相輔相成，總是很羨慕；看到一串串豆芽的公式，更是自卑得不得了，但心中有時候會反過來想，就自暴自棄的說：這些「數」與我何干？遇有複雜的數學公式，就先跳過去，因為文字的敘述也能讓我捕風捉影猜出現象背後的涵義，然而腦海裡仍不免有些揮不去的陰影：我跳過的那些數學公式，其中隱藏的真義是否也被我忽略掉了？

　　直到有一天，我在課堂上很認真的向一群大學生解釋何謂視神經細胞的「側向抑制效應」（lateral inhibition effect）。我畫了一條視神經細胞反應線條（如右圖），箭頭處是刺激光點照到的桌邊地點；左邊桌面有光，右邊是空的，因此「側面抑制效應」形成了邊緣線特別亮的效果。我很仔細的說明，為何我們看到桌面邊界時會感到特別亮、特別清楚的現象。有一位學生忽然告訴我，那條線代表的是一次微分的曲線！我當場愣了一下，我講了半天的現象，一次微分的描繪，更簡潔明白，不拖泥帶水，不囉嗦，真是一目了然。這才是科學的美麗境界！

　　我教書多年，有了這樣的體會，就開始努力自修數學，也去旁聽學校名師的微積分和線性代數課，更勤讀數學史的科普書，真是受用無窮，對自己研究「概念形成」（concept formation）的歷程，確實是助益良多。尤其我們最近研究嬰兒如何從外界混沌雜亂的大人語音中抽取精華，形成語言知覺和發音的基本要素，發現嬰兒的學習其實是掌握統計的許多基本原則，才能在那麼短的時間內，習得那麼複雜的分類，且每一個類別上的具體表音，都是機率的組合。科學家想要完成好的理論來解釋這個快速習得的現象，哪能不懂機率的基本概念！

　　丘院士的這本書，真的很好，而且很「親切」，誰會想到他曾當過街頭小混混呢？也因為如此，他講卡拉比–丘（Calabi-Yau）流形，非常平實近人（當然讀者也必須花些心思的！）。對那十個維度中的時空四個維度，書裡的例子很生活化（例如與人相約在某交錯路口的某建築碰面，這是二維空間，講明約在幾樓，就是三維空間，再加上時間，便是四維空間了），不過對其他六個隱藏、捲縮的維度的說明，確實讓人不易掌握。我必須承認似懂非懂，但感覺很有趣！這本書我很專注的讀了兩遍，每次讀完，合書冥思，就對科學的分析內涵有一份新的感受，尤其是在幾何學的發展歷史上，空間概念的一再複雜化，是自然也是必然，在在使人感到物理世界、宇宙觀都必須環繞著這些空間的多維度整合，才演化出各種不同的能量和作用力。也許數學本身也是遵循著同樣的演化，數和理本為一體。對之人類「認識」世界的概念基礎，更是如此！

　　這樣對時空概念的論述，在我研究語言行為和記憶歷程的思考，顯得特別有意義。我們的腦神經在反映外在世界的心智歷程時，是把語言中時、空的訊息「糾」在一處的。當代的語言學大師王士元院士給我這張表：

　　space (空間) ∕ time (時間)

　　around：around the block ∕ around Christmas

　　at：at the house ∕ at 3 o'clock

　　by：by the house ∕ by Sunday

　　for：for a mile ∕ for a week

　　from…to：from here to there ∕ from now to then

　　in：in the house ∕ in a week

　　last：the last house ∕ last week

　　little：little space ∕ little time

　　long：a long house ∕ a long time

　　next：the next house ∕ next week

　　on：on the house ∕ on Sunday

　　over：over the mountain ∕ over the holidays

　　short：a short house ∕ a short time

　　through：through the house ∕ through the week

　　最左邊是前置詞或形容詞，用來指稱空間的訊息，也用來描繪時間的訊息，從深一層去思考這「神經平台共享」的涵義，人本身就是時空的行者！

　　這本書給我最大的思維刺激，是多維度的概念。對身外宇宙的描述與理解，在數學上有卡拉比－丘所演算出的多個維度予以支撐，但對人內心的宇宙，到底要多少維度才能盡善的描述？舉個很簡單的例子：「牧童騎在牛背上，邊走邊吃草」，你當然「知道」不是牧童吃草，但字詞上和語法上都未告訴你，邊走邊吃草的是牛而非牧童。那個促成理解的訊息，是生活經驗，是常識，但那種經驗和常識是用什麼維度來理解呢？問問當下機械人的人工智慧，或許「它」只能說：佛曰不可解也！

曾志朗（本文作者為中央研究院院士）

推薦序2

看到萬事萬物之間的深層關聯

　　有一句順口溜「有關係就沒關係；沒關係就有關係」，其實這句有趣的順口溜可以有不同的解讀。

　　對政客和商人來說，關係是一個微妙的觀念，特別是「有關係就沒關係」這半句，和有權有錢的人拉上關係，大事可化小，小事可化無，沒關係就是沒問題。可是，對文學家和科學家來說，關係是個美妙、神奇的觀念，特別是「沒關係就是有關係」這半句，可以解釋為在一般人眼中被認為沒有關聯的觀念和事物，看透看懂了，卻是一為二、二為一，相生相應，相輔相成。

　　我們都讀過李後主的虞美人：「春花秋月何時了，往事知多少？小樓昨夜又東風，故國不堪回首月明中。雕欄玉砌應猶在，只是朱顏改。問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流。」花就是花，月就是月，可是和春天、秋天扯上關係；春花秋月是風景，可是又和往事扯上關係；小樓昨夜又東風，有點涼意，卻又和故國回首扯上關係；雕欄玉砌是亭台樓閣，和朱顏改又有什麼關係？愁就是愁，卻和向東流的春水扯上了關係。這就是文學家敏銳的觸角看出來的關聯。

　　在物理學裡，電力和

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